Question

在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosA=1/3

.(1)求cos²[﹙B+C)／2]+cos2A的值 （2）若a=2,c=3／2,求角C的大小

Answer 1

⑴(B+C)/2=(180°-A)/2=90°-A/2，
∵cosA=2(cosA/2)^2-1，∴cosA/2=√6/3，∴sinA/2=√3/3
cos2A=2(cosA)^2-1=2×(1/3)^2-1=-7/9，
∴原式=(sinA/2)^2+cos2A=1/3-7/9=-4/9。
⑵∵1/2<√3/3<√2/2，∴30°<A/2<45°，60°<A<90°，a>c，∴C为锐角，
sinA=√(1-cosA^2)=2√2/3，
∴sinC=c*sinA/a=3/2*2√2/3÷2=√3/2，
∴C=60°。

Answer 2

1、 cos²[﹙B+C)／2]+cos2A
=cos²[(180°-A)/2]+cos2A
=cos²[90°-A/2]+2cos²A-1
=sin²A/2+2cos²A-1
=[√(1-cosA)/2]²+2cos²A-1
=[(1-cosA)/2]+2cos²A-1
=[(1-1/3)/2+2×(1/3)²-1
=1/3+2/9-1
=5/9-1
=-4/9
2、cosA=1/3，
∴在△中sinA=√（1-1/9）=2√2/3
∴正弦定理：a/sinA=c/sinC
sinC=sinA×c/a=(2√2/3×3/2)/2=√3/2
∴C=60°或120°