Question

已知f(x)=㏑x-ax2,x>0(1)求f(x)的单调区间;(2)当a=1/8时,证明:存在x0属于(2,+∞），使f（x0）=f（3/2）

Answer 1

（1）
f'(x)=1/x-2ax
①当a=0时，f'(x)=1/x。当x>0时，f'(x)>0，函数为增函数。
②当a<0时，f'(x)=(1-2ax^2)/x。因为a<0，故x>0时，1-2ax^2>0恒成立。
③当a>0时，f'(x)=(1-2ax^2)/x。令f'(x)=0,得x=±1/√2a，当0<x<1/√2a时f'(x)>0，f(x)为增函数。
当1/√2a<x<+∞时，f'(x)<0，f(x)为减函数。
（2）
当a=1/8时，1/√2a=2。由（1）中③可知当x=2时，f'(x)取得最大值。故存在x0属于（2，+∞），
时f(x0)=f(3/2)。