Question

一道求极限的题

大家注意这道题非常容易出错，而且是典型的错误！

Answer 1

看到上面的答案很无语啊，都是错误的。
lim(x→∞) (1+1/x)^x^2≠e^2

追问

那请问老师该怎么做？

追答

先求导数
[(1+1/x)^x^2]'

=[e^ln(1+1/x)^x^2]'
=[e^ln(1+1/x)^x^2]*[x^2*ln(1+1/x)]'
=(1+1/x)^x^2*[2x*ln(1+1/x)-x^2*1/(1+1/x)*1/x^2]
=(1+1/x)^x^2*[2x*ln(1+1/x)-x/(1+x)]
再看
lim(x→∞) [2x*ln(1+1/x)-x/(1+x)] (x=1/t)

=lim(t→0) [2ln(1+t)/t-1/(1+t)]
=lim(t→0) 2ln(1+t)/t-lim(t→0) 1/(1+t)
=2-1
=1
所以原式
=lim(x→∞) (1+1/x)^x^2*[2x*ln(1+1/x)-x/(1+x)]
=lim(x→∞) (1+1/x)^x^2
=∞

Answer 2

刚刚看了百度知道里面一道类似的题，才确定自己以前真的是错的。。。
lim(x→∞)(1+1/x)^(x^2)≠lim(x→∞)e^x

(1+1/x)^(x^2)=e^(x^2ln(1+1/x))=e^(x^2(1/x-1/(2x^2)+o(1/x^2))=e^(x-1/2+o(1))
所以原式=lim(x→∞)(e^2-e^(x-1/2+o(1)))/x=lim(x→∞)-e^(x-1/2+o(1))
当x→+∞时，原式=-∞
当x→-∞时，原式=0

Answer 3

e²-1 ，

Answer 4