Question

如图，抛物线y=-1/3x²+4/3x+1与y轴交于点A,对称轴交x轴于D.连AB，点P在y轴上，

如图，抛物线y=-1/3x²+4/3x+1与y轴交于点A,对称轴交x轴于D.连AB，点P在y轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P和Q，使四边形ABPQ为矩形？若存在，求点Q的坐标

Answer 1

y=-1/3x²+4/3x+1
= -1/3(x-2)²+7/3
则y轴交点坐标A（0，1）且B点坐标（2，0）
AB直线解析式为y=-1/2x+1
则BP直线的解析式为：y=2x-4 即P点坐标为（0，-4）
PQ直线解析式为：y=-1/2x-4
设PQ直线同抛物线的交点坐标Q(x，y)
y=-1/3x²+4/3x+1
y=-1/2x-4
解上述联立方程，得 2x²-11x-30=0
(2x-15)(x+2)=0
根据题意， x=-2，y=-3
PQ=√[(0+2)²+(-4-(-3))]=√[(0+2)²+(-4-(-3))]=√5
因为AB=PQ 且 PQ⊥PB PB⊥AB
故存在点P和Q，使四边形ABPQ为矩形，Q(-2,-3)