Question

高等数学微积分问题

1.设p（x）在R上连续且不恒等于0，y1（x），y2（x）是微分方程y’+p（x）y=0的两个不同的特解，则y1（x）-y2（x）在任何一点不等于0这个结论为什么是正确的？
求详解，万分感谢！！！

2.
设p（x）在[a，正无穷大）上连续非负，如果微分方程y’+p（x）y=0的每一个特解y（x）都满足lim（x→正无穷大）y（x）=0，则p（x）必然满足（ ）
A．lim（x→正无穷大）p（x）=0
B．lim（x→正无穷大）p（x）=正无穷大
C．p（x）在a到正无穷大上的广义积分收敛
D．p（x）在a到正无穷大上的广义积分发散

请对每个选项做出详解，万分感谢！！！

Answer 1

希望对你有所帮助.

Answer 2

1.请重新核对答案。不会有这样的结论。
只是不允许y1-y2=常数罢了。不会y1-y2任何一点都不为0

2.y'/y=-p(x) 两边积分 ∫y'/y=lny
∴∫p(x)=-lny x倾向于0时,-lny倾向于正无穷大
∴选择D。广义积分发散。

追问

请问第二题的A和B选项怎么判断？

Answer 3

1.设p（x）在R上连续且不恒等于0，y1（x），y2（x）是微分方程y’+p（x）y=0的两个不同的特解，则y1（x）-y2（x）在任何一点不等于0这个结论为什么是正确的？
y'+p(x)y = 0 , so y(x) = ce^(-jifen[p(x)dx]) = c*e^[P(x)],

so y1(x) = c1*e^[P(x)], y2(x) = c2*e^[P(x)], c1!=c2,
so y1（x）-y2（x） = (c1-c2)*e^[P(x)]在任何一点不等于0

2.
设p（x）在[a，正无穷大）上连续非负，如果微分方程y’+p（x）y=0的每一个特解y（x）都满足lim（x→正无穷大）y（x）=0，则p（x）必然满足（ ）
A．lim（x→正无穷大）p（x）=0
B．lim（x→正无穷大）p（x）=正无穷大
C．p（x）在a到正无穷大上的广义积分收敛
D．p（x）在a到正无穷大上的广义积分发散

y'/y = -p(x), so (lny)' = -p(x), so JIFEN(lny)'dx = JIFEN[-p(x)]dx, x from a to s,
so lny(s) = lny(a) - JIFEN[-p(x)]dx, x from a to s,

y(s) = y(a)/{e^[JIFEN[p(x)]dx]},
let s→正无穷大, {e^[JIFEN[p(x)]dx]}→正无穷大, 故D．p（x）在a到正无穷大上的广义积分发散

追问

请问，2的AB怎么判断？

追答

2的AB的正确性不知道，只知道 p（x）在a到正无穷大上的广义积分发散， 故没有选 A B， 因为单选题啊

Answer 4

积分一下就可以的哦！
积分一下就出来了哈！
不难的哈！