Question

若函数f(x)=x/(mx²+mx+1)的值域为R,则m的取值范围

Answer 1

(1)当m=0时，明显成立。
(2)当m不等于0时
令y＝x/(mx²+mx+1)，易知分母不为0，变式得y(mx²+mx+1)=x,
整理后得ymx²+(ym-1)x+y=0,f(x)的值域是R，所以对任意的y,关于x的一元二次方程
ymx²+(ym-1)x+y=0恒有解，所以△＝b²-4ac=(ym-1)²-4y²m>=0
即y²m²-2ym+1-4y²m>=0,再将此方程左边看作是一个关于f(y)的二次函数，则此函数
对定义域R恒有值大于等于0，故对f(y)=(m²-4m)y²-2my+1,有
m²-4m>0且(2m)²-4(m²-4m)<0,解不等式组得，m<0.
综上可知m<=0

Answer 2

若函数f(x)=x/(mx²+mx+1)的值域为R,
只须mx²+mx+1≠0
（1）m=0时，满足结论
（2）不论m大于0或小于0，y=mx²+mx+1 中当△＝b²-4ac=m²-4m<0 =>0<m<4时，y和x没有交点。
综上有:0≤m<4

Answer 3

原函数可变为myx²+(my-1)x+y=0
令Δ>=0得(m²-4m)y²-2my+1>=0
y取实数恒成立
所以 Δ<=0
m<=0