Question

1至40这个40个自然数,最多可取出多少个数,使得其中每两个数的和都不是4的倍数?

Answer 1

1-40除以4的余数分别是1，2，3，0，1，2，3，0，。。。，1，2，3，0
其中余数的和能组成4的倍数的是0+0，1+3，2+2
所以余数是0的只能取一个，余数是2的也只能取一个（取两个的话相加就能被4整除）
余数是1或3的只能取一样，也就是10个（取另一个的话和也能被4整除）
所以最多能取1+1+10=12个

Answer 2

将1~40按4的余数分成4组,每组各10个：
A={1,5,9,.. .37}
B={2, 6,10, ..38}
C={3,7,11,...39}
D={4,8,12 ...40}
B，D组中任两数和都为4的倍数，所以这两组中都最多只能取一个数。
A组中任一个数与C组中任一个数的和都为4的倍数，所以这两组不能同时被取到。
因此最多的可能是取12个数：A组（或C组）全取10个，B，D组各取1个。

Answer 3

a=4n+r，r=0,1,2,3。4个剩余类各含有10个数。非4的倍数组合是r=0,1；0,2；0,3；1,1；1,2；2,3；3,3。
从任何一个自相加不为4之倍数的剩余类开始，比如1类，其他0、2两类中至多只能取1个数可以构成非4倍求和的最大数集，共12个。

Answer 4

4n:4,8，12，16，20，24，28，32，36，40。共有10个，