Question

已知:如图,等边△ABC的边长是4,点D是边BC上的一个动点(与点B,C不重合),联结AD,作AD的垂直平分线分别与边

已知：如图，等边△ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不重合），连接AD，作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F．
（1）求△BDE和△DCF的周长和；
（2）设BD的长为x，试用x的代数式表示△BDE和△CDF的周长；
（3）在点D的移动过程中，△BDE的周长和△CDF的周长之比能否是3：2？ 如果能，求出BD的长；如果不能，请简单说明理由。
过程详细点

Answer 1

1、∵EF为AD垂直平分线，∴AF=DF，AE=DE（线段的垂直平分线上点到线段两端点距离相等）
∵AB=AE+BE，AC=AF+CF，BC=BD+CD，∴△ABC周长=AE+BE+AF+CF+BD+CD
∵△BDE周长=BD+BE+DE，△DFC周长=DF+DC+FC
∴△BDE周长+△DFC周长=BD+BE+DE+DF+DC+FC
∴△BDE周长+△DFC周长=△ABC周长
∵等边△ABC的边长是4，∴△ABC周长=4×3=12
∴△BDE周长+△DFC周长=12

2、∵AE=DE，AB=AE+BE，∴AB=DE+BE=4
∵△BDE周长=BD+BE+DE，BD=x，∴△BDE周长=4+x
∵△BDE周长+△DFC周长=12，∴△DFC周长=12-(4+x)=8-x

3、假设△BDE的周长：△CDF的周长=3：2
∵△BDE的周长：△CDF的周长=3：2
∴(4+x)：(8-x)=3：2 解得：x=16/5=3.2
∴BD=3.2

Answer 2

(1)等边三角形ABC中，已知D是AB边任意一点(不与B、C重合)
且EF垂直平分AD
所以 AE=DE AF=DF
所以 △BED周长+△DFC周长=BD+BE+DE+DF+FC+DC=BD+DC+BE+AE+AF+CF
=BC+AB+AC=4+4+4=12

(2) 设BD=x 所以 △BED周长=BD+DE+BE=BD+BE+AE=BD+AB=x+4
△DFC周长=DF+FC+CD=AF+CF+CD=AC+CD=4+4-x=8-x

所以△BED周长/△DFC周长=(x+4)/(8-x)=3/2 所以 BD=x=16/5