Question

如图,抛物线y=-5/4x^2+17/4x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点

如图，抛物线y=-5/4x＾2+17/4x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
1）求直线AB的函数关系式

（2）动点P在线段OC上从原点以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围

（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由

Answer 1

抛物线y=-(5/4)x²+(17/4)x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥
x轴，垂足为点C（3，0）；1）求直线AB的函数关系式（2）动点P在线段OC上从原点以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由
解：(1)令x=0得y=1，故A点的坐标为(0，1)；故可设过A点的直线方程为y=kx+1..........(1)；
再令抛物线中的x=3，得y=-(5/4)×9+(17/4)×3＋1=3/2+1=5/2；故B点的坐标为(3，5/2)，代入(1)
式得5/2=3k+1，故k=(5/2-1)/3=(3/2)/3=1/2，再代入(1)式即得直线方程为y=(1/2)x+1；
为所求。
(2).S=-(5/4)t²+(17/4)t+1-[(1/2)t+1]=-(5/4)t²+(15/4)t；(0≦t≦3)
(3)当∣MN∣=∣BC∣时四边形BCMN为平行四边形(一组对边平行且相等)；
为此令-(5/4)t²+(15/4)t=5/2；化简得t²-3t+2=(t-2)(t-1)=0，故得t₁=1；t₂=2；
即当t=1秒或2秒时四边形BCMN是平行四边形。
当t=1时，M(1，3/2)，C(3，0)；∣MC∣=√[(1-3)²+(3/2)²]=√(4+9/4)=√(25/4)=5/2=∣BC∣
故此时(t=1秒)平行四边形BCMN是菱形；
当t=2时，M（2，2)；C（3，0)；∣MC∣=√[(2-3)²+2²]=√(1+4)=√5≠∣BC∣=5/2；
故此时(t=2秒)平行四边形BCMN不是菱形。

Answer 2

1) A(0,1) B(3,5/2) AB: y = x/2 +1
2) P(t,0) M(t,t/2+1) N(t,-5/4t² +17/4t +1) s=-5/4t² +17/4t +1-(t/2+1)= -5/4t² +15/4t (0<=t<=3）
3) 则MN = BC, -5/4t² +15/4t = 5/2, t=1 或 -2(舍）
此时M(1,3/2) N(1,4), 矢量CM(-2,3/2）矢量BN(-2,3/2) 所以CM=BN，所以BCMN为平行四边形
BC=5/2=MN, CM²=2²+(3/2)²=25/4, CM=5/2, BN=CM, 所以BC=CM=MN=BN, 平行四边形BCMN是菱形