Question

设f(x)=2x^3+ax^2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图像关于直线x=-1/2对称，1)f'(1)=0求实数a，b的值：

2）求函数F（x）的极值

Answer 1

1.
f'(x)=6x^2+2ax+b
由对称轴为x=-1/2，对称轴为直线x=-b/2a,
得-2a/12 =-1/2 a=3
所以f'(x)=6x^2+6x+b
由f'(1)=6+6+b=0 b=-12
所以f(x)=2x^3+3x^2-12x+1
2.
令f'(x)=0=x^2+x-2=0
(x-1)(x+2)=0 解得x=1 x=-2
显然x>1时 f'(x)>0 -2<x<1时 f'(x)<0 x<-2时 f'(x)>0
所以1 -2为极值点横坐标
代入f(1)=-6
f(-2)=-16+12+24+1=21
显然-6为极小值 21为极大值
｛不懂可追问^_^o~ 努力！｝

Answer 2

f'(x)=6x^2+2ax+b=A(x+1/2)^2+y0=Ax^2+Ax+A/4+y0。这时A=6，a=3，b=3/2+y0，f'(x)=6x^2+6x+3/2+y0,
1）f'(1)=6+6+3/2+y0=0；得y0=-13½，所以b=-12；
f'(x)=6x^2+6x-12；f(x)=2x^3+3x^2-12x+1
2）f'(x)=6x^2+6x-12=6(x-1)(x+2)=0，f(x)的极值点-2、1，极值21、-6
f"(x)=12x+6，f(x)在-1/2为拐点，x≤-1/2时，f(x)凸，其余部分凹。这样-2极大值21,1极小值-6

Answer 3

f(x)'=6x^2+2ax+b

根据题意，对称轴为x=-1/2,则有：

-1/2=-2a/6,即a=3/2.

因为f(1)'=0,则有：

6+2a+b=0,得到b=-9.

Answer 4

f'(x)=6x^2+2ax+b
由对称轴为x=-1/2
得-2a/12
=-1/2
a=3
那么f'(x)=6x^2+6x+b
那么f'(1)=6+6+b=0
b=-12
所以f(x)=2x^3+3x^2-12x+1