Question

如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交

（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．只要第3问，谢谢哈！

Answer 1

（1）将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax^2+bx+3得：
9a-3b+3=0
a-b+3=0
解得a=1，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=x^2+4x+3．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x^2+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴cos∠CAB=√2/2．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=√(1^2+3^2)=√10．
如答图1所示，连接O1B、O1C，
由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，
∴△BO1C为等腰直角三角形，
∴⊙O1的半径O1B=√2/2BC=√5．
（3）抛物线y=x^2+4x+3=（x+2）^2-1，
∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x=-2．
又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=-2对称．
如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，
∴D（-4，3）．
又∵点M为BD中点，B（-1，0），
∴M（-5/2，3/2），
∴BM=√{[-5/2-(-1)]^2+(3/2)^2}=3√2/2；
在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），
由两点间的距离公式得：BP=√2，BC=√10，PC=2√5．
∵△BMN∽△BPC
∴BM∶BP=BN∶BC=MN∶PC
即(3√2/2)/√2=BN/√10=MN/2√5，
解得：BN=3√10/2，MN=3√5．
设N（x，y），由两点间的距离公式可得：
(x+1)^2+y^2=(3√10/2)^2
(x+5/2)^2+(y-3/2)^2=(3√5)^2，
解得：x1=7/2;y1=-3/2或x2=1/2;y2=-9/2，
∴点N的坐标为（7/2，-3/2）或（1/2，-9/2）．

Answer 2

如图，点N坐标为（1/2，-9/2）或（7/2，-3/2）

追问

能不能顺便给个过程啊？

Answer 3

（1/2，-9/2）或（7/2，-3/2）