Question

数学圆与直线关系的问题

已知A(-2,0)B(2,0)C(m,n)，若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A,B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明。

Answer 1

相切~

设直线AC的方程为y=kx+b，由于过点A，可得0=-2k+b，则b=2k，则直线AC方程为y=kx+2k（k不等于0）
那么R点坐标为：（2，4k）
又圆的方程为x^2+y^2=4,利用消元法消除x（更简单）得：x=(2-2k^2)/(k^2+1)，y=4k/(k^2+1)
即点C的坐标为（(2-2k^2)/(k^2+1)，4k/(k^2+1) ）
要证直线CD与圆O相切，只要直线CD与直线OC的斜率乘积为-1
直线OC的斜率为:2k/(1-k^2)
点D的坐标为：（2，2k）
直线CD的斜率为：k^2-1/2k显然可以知道CD与OC垂直，那么直线CD与圆相切~~~

Answer 2

其实很简单。
你先把图画出来。用m n 去表示点R的坐标，我算到是（2，4n/(m+2) )
接着写出点D的坐标（2，2n/（m+2））
写出CD的直线方程
然后跟圆的方程x^2+y^2=4
连理求解，也就是消元法，可以得到一个一元二次方程
用根的判别式判断 若〉0 相交
=0 相切

Answer 3

连接OD，则OA=OB，BD=BR则OD//AR ∠DOC=∠OCA=∠OAC=BOD
又因为 OB=OC=2，OD=OD 则△DCO≌△DOB 则∠OCD=∠OBD
x=2与圆O交于B点（2，0） 可得∠OBD=90° 所以CD垂直OC于C点
即CD与圆O相切于C点