Question

求初中数学大神帮忙。哈市2013名校考王（MKW）中考模拟榜中榜数学（一）28题

等腰直角三角形ABC，AH为高，D为AC上动点，DE⊥AH交AB于E，EF⊥BD交BH于F，BD交AH于点G。
求证：BF=2GH

Answer 1

证明：以H为原点，射线HC,HA分别为x,y轴正方向，建立平面直角坐标系。

设△ABC底边长为2a，则B(-a,0),C(a,0),A(0,a)，并有

AB:y=x+a,AC:y=-x+a,AH:x=0,BC:y=0

由D在AC上，不妨设D(m,-m+a)，则E(-m，-m+a)(其中，0≤m≤a)

由B(-a,0),设BD:y=k(x+a)，将D(m，-m+a)带入，有

k(m+a)=-m+a

∴k=(-m+a)/(m+a)

∴BD:y=(-m+a)/(m+a)·x+(-m+a)/(m+a)·a

令x=0，则y=(-m+a)/(m+a)·a

即G(0,(-m+a)/(m+a)·a)

∴GH=(-m+a)/(m+a)·a=(a²-ma)/(m+a)

又EF⊥BD

可知k<EF>·k<BD>=-1

∴k<EF>=(m+a)/(m-a)

则设EF:y=(m+a)/(m-a)x+b，将E(-m，-m+a)带入，有

(m+a)/(m-a)·(-m)+b=-m+a

∴b=-m+a-(m+a)/(m-a)·(-m)=-m+a+(m²+ma)/(m-a)

∴EF:y=(m+a)/(m-a)x-m+a-(m+a)/(m-a)·(-m)

令y=0，则x=[m-a+(m+a)/(m-a)·(-m)]÷[(m+a)/(m-a)]=(m-a)²/(m+a)-m

即F((m-a)²/(m+a)-m,0)

∴BF=(m-a)²/(m+a)-m-(-a)

        =(m-a)²/(m+a)-m+a

        =(m²-2am+a²)/(m+a)+(m+a)(-m+a)/(m+a)

        =(m²-2am+a²+a²-m²)/(m+a)

        =2(a²-am)/(m+a)

∴BF=2GH

原命题得证.

Answer 2

解答中。。。。。。请稍后