Question

已知函数f(x)=（x^2+ax+1）÷（x-1）（a≠2）的图像关于点(b,1）对称。

已知函数f(x)=（x^2+ax+1）÷（x-1）（a≠2）的图像关于点(b,1）对称。 （1）求函数f(x)的单调区间；
（2）设函数g(x)=x^2-3c^2x-2c(c≤-1)。若对任意x1属于[2,4]，总存在x2属于[-1,0]，使得f(x1)=g(x2)成立,求c的取值范围。

Answer 1

　　1.f(x)=（x^2+ax+1）÷（x-1）=2-f(2b-x）=2-[(4b^2-4bx+x^2+a(2b-x)+1/(2b-x-1)]
　　=4b-2x-2-4b^2+4bx-x^2-a(2b-x)-1/2b-x-1=[x^2+(4b+a-2)x+(4b-4b^2-2ab-3)]2b-x-1
　　=[x^2+(2-4b-a)x+(4b^2+2ab+3-4b)]/x+1-2b

　　即2-4b-a=a 4b^2+2ab+3-4b=1 1-2b=-1 得a=-1 b=1
　　 f(x)=（x^2+ax+1）÷（x-1）=x+(1/x-1) (x≠1）
　　 求导f‘(x)=1-1/（x-1）^2
　　x∈(-∞，0]∪[2,+∞)时 f‘(x)≥0 f(x)单调递增
　　x∈(0, 1)及x∈(1,2)时 f‘(x)<0 f(x)单调递减
　　
　　2.x∈[2,4]时f(x)单调递增 f(x)min=f(2)=3 f(x)max=f(4)=13/3
　　g(x)=x^2-3c^2x-2c=(x-1.5c^2)^2-(2c+9/4c^2) 2c(c≤-1)
　　x∈[-1,0]时 g(x)单调递减 g(x)min=f(0)=-2c g(x)max=g(-1)=1+3c^2-2c
　　要f(x1)=g(x2)恒成立
　　则g(x)min=-2c≤f(x)min=f(2)=3 c∈[-3/2,-1]
　　 g(x)max=g(-1)=1+3c^2-2c≥f(x)max=f(4)=13/3c∈(-∞,-(√11-1/3]]∪[√11+1/3,+∞)
　　 综上c∈[-3/2,-1]

　　希望没算错……