Question

已知a+b+c=0求证:(a-b/c+b-c/a+c-a/b)(c/a-b+a/b-c+b/c-a)=9

已知a+b+c=0求证:((a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)(c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a))=9
要详细过程，不能含糊说

Answer 1

(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b = (ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a))/(abc)
= (ab(a-b)+c(b²-a²)+c²(a-b))/(abc) = -(a-b)(b-c)(c-a)/(abc).
c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a) = (c(b-c)(c-a)+a(a-b)(c-a)+b(a-b)(b-c))/((a-b)(b-c)(c-a))
= (-c³-abc+bc²+ac²-a³-abc+ba²+ca²-b³-abc+ab²+cb²)/((a-b)(b-c)(c-a))
= (-9abc+a(b²+c²+2bc)-a³+b(c²+a²+2ca)-b³+c(a²+b²+2ab)-c³)/((a-b)(b-c)(c-a))
= (-9abc+a(b+c+a)(b+c-a)+b(c+a+b)(c+a-b)+c(a+b+c)(a+b-c))/((a-b)(b-c)(c-a))
= -9abc/((a-b)(b-c)(c-a)) (∵a+b+c = 0).
于是((a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)(c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)) = 9.

追问

为什么：
-9abc/((a-b)(b-c)(c-a)) (∵a+b+c = 0).
于是((a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)(c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)) = 9. ？？？
((a-b)(b-c)(c-a))为什么等于abc？

追答

上面的计算分为两步.
首先是将前面一个式子化为-(a-b)(b-c)(c-a)/(abc).
其次将后面一个式子化为-9abc/((a-b)(b-c)(c-a)).
于是二者的乘积 = 9 (约分即得).
没有用到(a-b)(b-c)(c-a) = abc.