Question

这道数学不会做了，求各位大仙帮帮忙！

将杨辉三角中的每一个数nCr都换成分数1÷（（n+1）nCr），就得到一个如图所示的分数三角形，成为莱布尼兹三角形.
(1)若1÷（（n+1）nCr）+1÷（（n+1）nCx）=1÷（n×（（n-1）C r）），求x(用n，r表示).
（2）令an=1÷3+1÷12+1÷30+1÷60+…+1÷（n×（（n-1）C 2））+1÷（（n+1）×（nC2）），求an.
（组合数我不会打，只能打成“aCb”的形式，其中a在下面，b在上面）
1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
1/5 1/20 1/30 1/20 1/5
1/6 1/30 1/60 1/60 1/30 1/6
... ... ... ...

Answer 1

下面以C_n^r=n!/[r!(n-r)!]来记组合数. 因此1/[(n+1)C_n^r]=r!(n-r)!/(n+1)!.
(1) 由已知, r!(n-r)!/(n+1)!+x!(n-x)!/(n+1)!=r!(n-1-r)!/n!, 两边同乘(n+1)!化简可得
x!(n-x)!=(r+1)!(n-r-1)!.
故x=r+1或n-r-1.
(2) 当n>2时, a_n=1/3+1/12+...+1/[n(n-1)(n-2)].
利用关系式1/[x(x-1)(x-2)]=1/2[1/x+1/(x-2)-2/(x-1)]=1/2[1/x-1/(x-1)]+1/2[1/(x-2)-1/(x-1)]可得
a_n=1/2[(1/3-1/2)+(1/4-1/3)+(1/5-1/4)+...+(1/n-1/(n-1))]
+1/2[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/(n-2)-1/(n-1))]
=1/2(1/n-1/2)+1/2[1-1/(n-1)]
=(n-2)(n+1)/[2n(n-1)].

追问

还有一问会吗？

追答

(2) (修改一下) 当n>1时, a_n=1/3+1/12+...+2/[n(n+1)(n-1)].
利用关系式2/[x(x-1)(x+1)]=1/(x+1)+1/(x-1)-2/x=[1/(x+1)-1/x]+[1/(x-1)-1/x]可得
a_n=[(1/3-1/2)+(1/4-1/3)+(1/5-1/4)+...+(1/(n+1)-1/n)]
+[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/(n-1)-1/n)]
=[1/(n+1]-1/2)+[1-1/n]
=(n-1)(n+2)/[2n(n+1)].