Question

两道概率论的题目。

1.分布函数：F(x)在［1，4］时 (x)^(-1/2) -1；x<1 F(x)=0; x>4 F(x)=1。
1）求x的概率密度
2）Y=(x)^(-1/2) 求Y的概率密度

3）证明：如果x是连续随机变量，分布函数F单调递增，那么Y=F(X)遵从（0，1）的均匀分布

2. X1,X2,X3.....Xn是n个独立随机变量，遵从同一分布，期望为1，方差为4
求：Var(X1X2); E(1/n(X1+X2+X3+...+Xn)); Var(1/n(X1+X2+X3+...+Xn)); Cov(X1,X2,X3)

麻烦写下具体的步骤，多谢了！
我傻了。。。第一题的(x)^(-1/2) -1都是(x)^(1/2) -1！！！

Answer 1

1、
（1）f(x)=(F(x))'=(x^(1/2)-1)'=1/2x^(-1/2) 1<=x<=4
（2）Y=X^(-1/2)
P(Y<=y)=P(X^(-1/2)<=y)=P(X>=1/y^2)=1-P(X<1/y^2)
=1-F(1/y^2)
=1-(1/y^2)^(1/2)+1
=2-1/y
则fY(y)=(2-1/y)'=1/y^2
（3）
Y=F(x)，则0<=Y<=1
P(Y<=y)=P(F(X)<=y)=P(X<=F^-1(y)) F^-1是F的逆函数，由F递增可以得到第二个等号
=F(F^-1(y))
=y
则FY(y)=y
即fY(y)=1 也就是(0,1)均匀分布
2、
Var(X1X2)
=E[(X1X2)^2]-[E(X1X2)]^2
=E(X1^2X2^2)-[E(X1X2)]^2
=E(X1^2)E(X2^2)-[E(X1X2)]^2
=E(X1^2)E(X2^2)-[EX1EX2]^2
因为EX1=1 VarX1=4=(EX1^2)-(EX1)^2 则EX1^2=5
=5*5-1
=24
E(1/n(X1+X2+X3+...+Xn))
=1/n[EX1+EX2+……EXn]
=1/n*n
=1
Var(1/n(X1+X2+X3+...+Xn))
=1/n^2[VarX1+VarX2……+VarXn]
=1/n^2*n*4
=4/n
Cov(X1,X2,X3) 不清楚什么意思，协方差是两个随机变量间的关系，怎么出现了三个