Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F

求证：AB垂直平分DF．
证明：连接DF，
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．
∵CD=BD=1/2 BC，∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．

Answer 1

在Rt△ACD和Rt△AED中，
因为∠ACD=90°，∠CED=90°,
所以∠CAD=∠ECD
因为BF∥AC，∠ACD=∠CBF=90°
在Rt△ACD和Rt△CBF中，
AC=BC,
∠CAD=∠FCB,
所以Rt△ACD和Rt△CBF全等 BF=CD
又因D是BC的中点，所以BF=BD,△DBF是等腰三角形
因为BF∥AC，
所以，∠CAB=∠ABF,
又因AB=BC
,所以，∠ACB=∠CBA=∠AB,FAB是,△DBF顶角的角平分线，
所以 AB垂直平分DF

Answer 2

证明：连接DF，
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．
∵CD=BD=1/2 BC，∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
就这样，很简单

Answer 3

由题知：∠CFB=∠ACF=∠CDA
∠CAD=∠FCD
而AC=AB 角C=角B=90°
所以三角形ACD全等三角形CBF
FB=CD=BD
所以三角形FDB是等腰直角三角形
而 角ACD=45°
所以AB垂直平分FD