Question

一道级数的问题： 级数∑[(n)^(1/n)-1] 收敛 还是 发散

Answer 1

该级数是发散的。
1.先证该级数与∑lnn/n收敛性相同。由数列极限与函数极限的关系可知当x→0时，有lim[n^(1/n)-1]/[lnn/n]=1（这个极限我在这里不详细证明了，其实很简单，就是一个等价无穷小的关系），因此依照比较审敛法的极限形式很显然原级数与∑lnn/n有相同的收敛性。
2.再证∑lnn/n发散。这个就不用我多说了吧，与调和级数比较一下就知道它是发散的了。
因此，原级数发散。

追问

x→0时，有lim[n^(1/n)-1]/[lnn/n]=1（这个极限我在这里不详细证明了，其实很简单，就是一个等价无穷小的关系）
这里我还是不会证，能再提示或者证一下吗？谢谢了

Answer 2

该级数是发散的。