Question

点P是以F1.F2为焦点的双曲线E:x2∕aˆ2-y^2∕bˆ2=1(a>0,b>0﹚上的一点，已知PF1⊥PF2，

PF1|=2|PF2|，O为坐标原点。过点B做直线分别于双曲线两渐近线相交于P1,P2两点，且OP1•OP2=―27∕4，2PP1+PP2=0，求双曲线E

Answer 1

(1)∵|PF1|=2|PF2|，|PF1|―|PF2|=2a，
∴|PF1|=4a，|PF2|=2a
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|²+|PF2|²=|F1F2|²
即：(4a)²+(2a)²=(2c)²，
∴c²=5a²
∴e=c/a=√5
(2)∵c²=5a²
∴b²=c²-a²=4a²
∴双曲线方程x²/a²-y²/4a²=1
渐近线方程y=±2x
∵P1、P2在渐近线上
∴设点P(x,y)，P1(x1,2x1)，P2(x2, -2x2)
∵OP1·OP2
=(x1,2x1)·(x2,-2x2)
=x1x2-4x1x2
=-3x1x2
=-27/4
∴x1x2=9/4
∵2PP1+PP2 = 2(x1-x,2x1-y) + (x2-x, -2x2- y) =0
∴2(x1-x) + x2-x = 0， 2(2x1-y) - 2x2 - y =0
∴X=(2X1+X2)/3 ， Y=2·(2x1-x2)/3
∵点P在双曲线上，代入，得：
(2x1+x2)²/9a² - (2x1-x2)²/9a²=1
化简得8x1x2=9a²
a²=2
∴双曲线方程：x²/2-y²/8=1