Question

为什么说泰勒级数是拉格朗日中值定理的迭代?

Answer 1

准确的说应该是推广吧，硬要说成迭代倒也说的通。如果函数f(x)有n阶可导，那么由拉格朗日中值定理可以得到f(x)=f(a)+f'(x1)(x-a)，其中a<x1<x，对f'(x)也使用拉格朗日中值定理，f'(x1)=f(a)+f''(x2)(x1-a)，x1<x2<x，带回到f(x)=f(a)+f'(x1)(x-a)中得f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(x2)(x1-a)(x-a)，仿照这样再把f''(x2)用f'''(x3)表示，一直进行下去，得到的f(x)表达式和f(x)的泰勒展开式在形式上有些相像。但这只是拉格朗日中值定理和泰勒中值定理之间联系的一种形象的理解方式，严格的证明可以到数值分析的课本上找找。