Question

初三数学题，请高手解答

如图1，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，点D是BC边的中点。点P从点B出发，以a cm/s（a>0）的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t s。
（1）若a=2，设△BPQ的面积为y(cm²）
①.求出y与t的函数关系式；
②.是否存在某一时刻t，使△BPQ的面积最大？若存在求出此时t的值，并求出最大的面积；若不存在，说明理由。
（2）如图2，设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形。
①.若a=二分之五，求PQ的长；
②.是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

【考点】相似三角形的判定与性质；
等腰三 角形的性质；勾股定理；平
行四边形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）由△ABC中，
AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是
BC的中点，根据等腰三角形三线合
一的性质，即可求得BD与CD的长，
又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相
似三角形的对应边成比例，即可求得
t的值；
（2）①首先过点P作PE⊥BC于E，
由四边形PQCM为平行四边形，易证
得PB=PQ，又由平行线分线段成比
例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2
(6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；
②首先假设存在点P在∠ACB的平分
线上，由四边形PQCM为平行四边
形，可得四边形PQCM是菱形，即可
得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及
可得方程组，解此方程组求得t值为
负，故可得不存在．
【解答】解：（1）△ABC中，
AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC
的中点，
∴BD=CD=1 2 BC=6cm，
∵a=2，
∴BP=2tcm，DQ=tcm，
∴BQ=BD-QD=6-t（cm），
∵△BPQ∽△BDA，
∴BP BD =BQ AB ，
即2t 6 = 6-t 10 ，
解得：t=18 13 ；
（2）①过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，
∴PB=CM，
∴PB=PQ，
∴BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm，
∵a=5 2 ，
∴PB=5 2 tcm，
∵AD⊥BC，
∴PE∥AD，
∴PB：AB=BE：BD，
即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，
解得：t=3 2 ，
∴PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm）；
②不存在．理由如下：
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．
若点P在∠ACB的平分线上，则
∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，
∴∠PCQ=∠CPM，
∴∠CPM=∠PCM，
∴PM=CM，
∴四边形PQCM是菱形，
∴PQ=CQ，
∴PB=CQ，
∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t
（cm），
∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-
PB=10-at（cm），
即at=6+t①，
∵PM∥CQ，
∴PM：BC=AP：AB，
∴6+t 12 =10-at 10 ，
化简得：6at+5t=30②，
把①代入②得，t=-6 11 ，
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB
的平分线上．

Answer 2

(1)由题可得 BD=CD, 且AD垂直于BC, 所以BD=CD=6cm，AD=8cm。
若a=2，当运行t秒后可得 BP=2t， BQ=6-t。过P点做BQ的垂线PE,垂足为E, 那么三角形BPE和三角形BAD相似， 所以BP/BA=PE/AD, 即2t/10=PE/8 , 可得PE=1.6t

所以此时三角形BPQ的面积为y=BQ*PE/2=(6-t）*1.6t/2= -0.8t^2+4.8t
当t=-b/2a=-4.8/[2*(-0.8)]=3时， y有最大值， 此时三角形面积最大，最大值为 7.2

（2）若PQCM为平行四边形那么可得三角形BPQ和三角形BAC相似
所以当a=2.5时， 可得BP/BA=BQ/BC, 即2.5t/10=6-t/12 .解得t=1.5， 所以 BP=2.5t=2.5X1.5=3.75

因为PQCM为平行四边形，所以PM//QC且PQ//MC, 若存在P点且点P为角ACB的角平分线上，那么我们可得：
角MPC=角PCQ, CP为角ACB的角平分线，所以角MCP=角PCQ, 所以角PCQ=角MCP=角MPC, 所以MP=MC, 综上可得MP=MC=CQ=PQ
又三角形BPQ和三角形BAC相似， 所以可得BQ/BC=PQ/AC=CQ/AC,
即(6-t) /12=(6+t)/10, 可得 t=-6/11, 时间不能为负值， 所以此时不存在实数a，使得点P在角ACB的角平分线上。

Answer 3

1.(1) AB=AC=10cm，BC=12cm，点D是BC边的中点,AD垂直BC，BD=1/2BC=6cm,QB=6-t．
AD=√AB²-DB²=8,BP=2t
过P作PE垂直BQ于E，PB／AB＝PE／AD,2t/10=PE/8,PE=8t/5
y=1/2BQ*PE=1/2*(6-t)*8t/5=-4/5t²24t/5,(t≤5)
(2)存在,t=-(24/5)/2*(-4/5)=3,时,最大的面积y=24/5(cm²)
2.(1)a=5/2,BP=5t/2 ,PM//BC, (10-5t/2)10=PM/12,PM=12-3t,QC=6+t
四边形PQCM为平行四边形,PM=QC,12-3t=6+t,t=1.5
PB=2.5*1.5=15/4,过P作PF垂直BC于F，PF／AD＝PB／AB，PF＝3
BF＝√BP²-PF²=9/4,CF=BC-BF=12-9/4=39/4,
PC=√PF²+CF²=√1665/16=3√185/4c
(2)不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上
若存在，过P分别作PH垂直BC于H，PR垂直AC于R，PH＝PR，
因S⊿ABC＝S⊿PBC＋S⊿PAC，即12PH+10PH=8*12,PH=48/11
PH/AD=BP/AB,BP=60/11, (10-60/11)/10=PM/12 ,PM=60/11 , 6+t=60/11,t=-4/11
所以，不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上

Answer 4

∵AB=AC=10，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴AD=8，
⑴BP=2t，BQ=6-t，
由相似得：BP/BQ=BD/AB=4/5，
∴10t=24-4t，t=12/7。
⑵①当四边形PQCM是平行四边形时，PQ∥AC，∴ΔPBQ∽ΔABC，
PB/BQ=AB/BC=5/6，
∴5/2t*6=5*(6-t)，t=3/2，PQ=PB=5/2*3/2=15/4。
②当P在∠ACB的平分线上时，BP/AP=BC/AC=6/5，
(三角形角平分线定理：角平分线分对边的比等于夹这个角两边的比)，
∵PQ∥AC，∴CQ/BQ=AP/BP=5/6，
∴Q在CD上，这是不可能的，
∴不存在a，使P在∠ACB的角平分线上。

Answer 5

（1）由于△ABC是等腰△，所以底边BC上的中线AD为底边上的高，sinB=AD/AB=4/5，
①y=1/2*BQ*BP*sinB=1/2*(6-t)*2t*4/5（0<t<6)

②存在，y=4/5(6t-t2)=4/5[-(t-3)2+9]，t=3时，y最大为36/5

(2)由于PQCM为平行四边形，所以PQ平行于MC，BP/BA=BQ/BC=PQ/AC,
2.5t/10=(6-t)/12,t=1.5,PQ=AC*0.375=3.75