Question

已知函数g(x)= 1 x•sinθ +lnx在[1，+∞)上为增函数，且θ∈（0，π），f

已知函数g(x)=
1
x•sinθ
+lnx在[1，+∞)上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-
m-1+2e
x
-lnx，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．

Answer 1

(1) 先对g(x)求导，得g(x)'=-1/(sinθx^2)＋1／x＝（sinθx－1）／（sinθx2）＞＝0，因sinθ＞0，x2＞0，所以sinθx－1＞＝0
所以x＞＝1／sinθ，因x＞＝1，所以1＞＝1／sinθ，sinθ＝1，θ＝π ／2
(2)g（x）＝1／x＋lnx，f(x)=mx-(m-1)/x-lnx求θ
m=0 f(x)=1/x-lnx f'(x)=-1/x^2-1/x>0 (1/x)(1/x+1)<0
-1<1/x<0时,即:x<-1时,是增的,因lnx中,x>0,所以无增区间.
f'(x)<0时,即(1/x)(1/x+1)>0)时,即:1/x>0时,即x>0时,是减的.
即:减区间x>0
同时,x>0为定义域,它是减的,所以无极值.

(3) f(x0)>f(x0)有解则:f(x0)>g(x0)有解f（X）－g（X）＝m（x－1／x）
令F（x）＝m（x－1／x）>0有解，F（x）’＝m（1＋1／（x2））
因1＋1／（x2）＞＝1＋1／1＝2＞0，
F(x)是增的
其最小为F(1),最大F(e)
F(1)F(e)<0时,有解
m(1-1)*m(e-1/e)=0无解