Question

已知函数f(x)=-x^2+7x,数列{an}的前n项和为Sn……在线等

已知函数f(x)=-x^2+7x,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上 ①求数列{an}的通项公式及Sn的最大值。 ②令bn=√2^an,其中n∈N*,求{nbn}的前n项和Tn

Answer 1

点Pn(n,Sn)均在函数f(x)=-x^2+7x的图像上.即 Sn=-n^2+7n
1) n>=2, an=Sn-S(n-1)=-n^2+7n+(n-1)^2-7(n-1)=-2n+1+7=8-2n
Sn=-n^2+7n=49/4-(n-7/2)^2n=1, a1=S1=-1+7=6适合an=8-2n要使Sn最大，则an>0且a(n+1)<=08-2n>0且8-2(n+1)<=0
所以3=<n<4
当n=3时，Sn值最大，Sn=-n^2+7n=-3^2+7*3=12

2）bn=√2^an=2^(an/2)=2^(4-n)=16/2^n
Tn=b1+2b2+...+nbn=16(1/2+2/2^2+..+n/2^n)
2Tn=16(1+2/2+3/2^2+...n/2^(n-1))
两式相减(注意是错项相减）：Tn=16[1+1/2+1/2^2+..+1/2^(n-1)-n/2^n]=16[2-1/2^(n-1)-n/2^n]

Answer 2

解：
①由题意得Pn的坐标必满足函数f(x)=-x^2+7x，即
Sn=-n^2+7n
当n=1时，a1=S1=6
当n>=2时，an=S(n)-S(n-1)=-n^2+7n+(n-1)^2-7（n-1）= - 2n+8
因此通项公式为an= - 2n+8（n=1时也满足）
Sn=-（n-7/2）^2+49/4，故n=3或4时Sn取得最大值，
最大值为S3=S4=12

②bn=√2^an=2^(4-n)
把{nbn}的前n项和Tn写开，

Tn=1*8+2*4+3*2+……+（n-1）*2^(5-n)+n*2^(4-n)
2Tn=1*16+2*8+3*4+4*2+……+n*2^(5-n)
两式相减，得
Tn=16+8+4+2+……+2^（5-n）-n*2^(4-n)
=32-2^（5-n）-n*2^(4-n)
=32-（n+2）*2^(4-n)