Question

用数学归纳法证明下题

将正整数作如下分组：(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15)........,分别计算各组包含的正整数的和如下，试用不完全归纳法猜测S1+S3+S5+.......+S2n-1的结果，并用数学归纳法证明。

S1=1 S2=2+3=5 S3=4+5+6=15 S4=7+8+9+10=34 S5=11+12+13+14+15=65
S6=16+17+18+19+20+21=111...........

Answer 1

把 S1 + S3 + ... + S(2n-1) 记作 A(n)

n = 1, S1 = 1
n = 2, S1 + S3 = 16
n = 3, S1 + S3 + S5 = 81
...
猜测还是简单的，就是 n^4

数学归纳法证明：

首先对于 n = 1, A(n) = S1+...+S(2n-1) = 1 符合

然后假定对于 n 成立，那么我们来看对于 n + 1，
A(n+1) = A(n) + S(2n-1) = n^4 + S(2n+1)

只要证明 S(2n+1) = (n+1)^4 - n^4, 数学归纳法证明就 ok 了。好，现在让我们看看 S(2n+1) 是什么东西：

首先 Sn 是 n 个连续自然数相加之和；

其次，Sn 的起始点恰好在 1+2+3+...+(n-1) 之后。就是说如果用 Bn 表示 1+2+3+...+(n-1)，Sn 就是 (Bn+1)+(Bn+2) +...+(Bn+n), 即
Sn = n*Bn + 1+2+3+...+n = (n+1)Bn + n
至于 Bn = 1+2+3+...+(n-1) 这个问题，高斯的故事大家都听过，就不重复了，结果是 Bn = n(n-1)/2

所以，有
Sn = n(n-1)(n+1)/2 + n

至于 S(2n+1)，那就是：
S(2n+1) = (2n+1)(2n)(2n+2)/2 + (2n+1)
S(2n+1) = 2n(n+1)(2n+1) + 2n + 1
S(2n+1) = (2n+1)(2n^2 + 2n + 1)

而 A(n+1) - A(n) 呢？
(n+1)^4 - n^4 = ((n+1)^2) + n^2)((n+1)^2 - n^2) = (2n^2 +2n + 1)(n+1 + n)(n+1 -n) =(2n+1)(2n^2 + 2n + 1)

不就是 S(2n+1) 么

Answer 2

S1+S3+S5+.......+S2n-1=n^4
理由如下
SN={[n(n-1)/2+1]+[n(n+1)/2]}*n/2=1/2n(n^2+1)
(根据等差数列求和)
显然当N=1时命题成立
下证如果命题对N=K-1成立,那么命题对N=K亦成立
由归纳假设得
S1+S3+……+S[2(k-1)-1]=(k-1)^4
那么S1+S3+……+S[2k-1]=S[2(k-1)-1]+S[2k-1]
=(k-1)^4+1/2(2k-1)[(2k-1)^2+1]
=k^4
根据数学归纳法，命题得证

Answer 3

解:(1)S1=1 S3=4+5+6=15 S5=11+12+13+14+15=65 ^……
S1=1 S1+S3=16 S1+S3+S5=81
猜测：S1+S3+S5+.......+S2n-1＝n^4
(2)证明：n＝1，显然命题成立。
假设n＝k命题成立，即S1+S3+S5+.......+S2k-1＝k^4
当n＝k＋1时，
S1+S3+S5+.......+S2k-1＋S2k＋1
＝k^4＋〔k（2k＋1）＋k（2k＋1）＋1＋k（2k＋1）＋2
＋.......+k（2k＋1）+K]
=k^4＋〔k（2k＋1）+k（2k＋1）+K](2k＋1)/2
=k^4+4k^3+6k^3+4k+1=(k+1)^4
所以当n＝k＋命题成立
所以命题对所有的正整数成立。