Question

已知正实数x,y满足x+2y=xy,则2x+y的最小值等于

Answer 1

解：因x>0，y>0，故xy=x+2y得
2/x+1/y=1
令x=2sec^2 a,y=csc^2 a,故
2x+y=4sec^2 a+csc^2 a
=4+4tan^2 a+1+cot^2 a
=5+(4tan^2 a+cot^2 a)
≥5+2√(4tan^2 a*cot^2 a)=5+2×2=9
当且仅当4tan^2 a=cot^2 a，也即tan^2 a=1/2时取等号。
此时x=2sec^2 a=2(1+1/2)=3，y=csc^2 a=1+1/(1/2)=3。
也即当且仅当x=y=3时，2x+y取最小值9
不明白请追问。

Answer 2

x+2y=xy=1/2*x*2y<=1/2*[(x+2y)/2]²=(x+2y)²/8
(x+2y)²/8-(x+2y)>=0
(x+2y)[(x+2y)/8-1]>=0
正实数x,y.
x+2y>0
(x+2y)/8-1>=0
x+2y>=8
则2x+y的最小值等于8

追问

额，这个貌似是错的，答案是9。不过也谢谢你回答我的问题了。