Question

如图1 在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8

如图1 在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8 CD是斜边AB上的高
（1）求线段AD的长
（2）点E在斜边AB上，过点E做直线EF⊥AB与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y
1.求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
2.当x取何值时，y有最大值？并求出最大值
（3）若点Q在直角边AC上（点Q与A、C不重合），点P在斜边AB上移动，试问，是否存在直线PQ将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线PQ，求出AP的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

1、AD=AC*AC/AB=3.6，CD=4.8
2、（1）若E在AD上：y1=（1/2）*（8/6）*x^2=(2/3)*x^2
若E在DB上：y2=(3/8)*(10-x)*x
（2）当y1=y2时，即x=3.6时，y最大，Max(y)=216/25=8.64
3、假设PQ存在，设AP=x AQ=y;(可判断P在DB上)
则：S（APQ）=0.5*0.8x/y=0.5*24，即y=30/X------方程1
C（APQ）=0.5*C(ABC)，即(12-x-y)^2=(x-0.6*Y)^2 + (0.8*y)^2----方程式2
方程12得x^2-10x+30=0
所以X不存在