Question

如图抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C这条抛物线的顶点是M(1,-4),

且过点（4，5）
（1）设址直线L是抛物线的对称轴，是否存在直线L上的点N，使N，B，C为顶点三角形是直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

y=ax^2+bx+c=a(x+b/(2a))^2+c-b^2/(4a)
顶点为M(1,-4)，则有
-b/(2a)=1，c-b^2/(4a)=-4
经过点(4,5)，代入可得
5=16a+4b+c
上述三个方程联立，可解得
a=1, b=-2, c=-3
∴抛物线方程为y=x^2-2x-3
易求出B,C的坐标为B(3,0), C(0,-3)
设对称轴上的点N的坐标为N(1,y)，则有
BC^2=3^2+(-3)^2=18，
CN^2=1^2+(y+3)^2=y^2+6y+10
NB^2=(1-3)^2+y^2=y^2+4
对于△NBC是否为直角三角形，可作如下讨论：
①若∠B为直角，则有
BC^2+BN^2=CN^2，即
18+y^2+4=y^2+6y+10
解得 y=2，N点坐标为N(1,2)
②若∠C为直角，则有
CN^2+CB^2=NB^2，即
y^2+6y+10+18=y^2+4
解得 y=-4，N点坐标为N(1,-4)
③若∠N为直角，则有
NB^2+NC^2=BC^2，即
y^2+4+y^2+6y+10=18
解得 y=(-3±√17)/2
此时，N点坐标为N(1,(-3±√17)/2)
综上所述，在抛物线对称轴上，共存在4个点
使△NBC为直角三角形