Question

抛物线求解

设M ，N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，与x轴分别交于A， B两点 ，且l1∩l2=P，若|AB|=1，（1）若|AB|=1，求点P的轨迹方程
（2）在满足（1）的条件下，求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值
．

Answer 1

解：（1）设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），切线的斜率 k=2x．
∴l1 的方程为 y-x12=2x1（x-x1），即 y=2x1x-x12 ①，
同理，l2 的方程为 y=2x2 x-x22 ②，令 y=0 可求出 A（

x1
2
，0），B（

x2
2
，0）．

∵|AB|=1，所以，|x1-x2|=2，∴|x1+x2|2-4x1x2 =4，
由①，②，得 x=

x1+x2
2
，y=x1x2，故点P（

x1+x2
2
，x1x2）．

∴y=x2-1，

（2）设 MN：y=kx+b 又由 y=x2 得 x2-kx-b=0，所以，x1+x2=k，x1x2=-b，
∴P到MN的距离为 d=

|kx1+x22-x1x2+b|
1+k2
=，MN=

1+K2
|x1-x2|，∴S=

1
2
MN•d=

1
4 （|x1+x2|2 -4x1x2|）•|x1-x2|=2，为定值．