Question

证明lim(x,y)→(0,0),xy/根号(x²+y²)=0

Answer 1

xy/根号(x²+y²)的绝对值<=x的绝对值，而后者趋向于0，于是得证。

Answer 2

因为│xy/(x^2+y^2)^(1/2)│≤0.5(x^2+y^2)^(1/2)
任给小正数ξ>0，要使│xy/(x^2+y^2)^(1/2)│＜ξ，只要(x^2+y^2)^(1/2)<2ξ即可
不妨取ρ=2ξ，则当[(x-0)^2+(y-0)2)]^(1/2)<ρ时总有│xy/(x^2+y^2)^(1/2)│<ξ
由极限定义limxy/根号(x²+y²)=0,当(x,y)→(0,0)

Answer 3

令x=pcosa，y=psina
p→0
原式=lim（p→0）p²sinacosa/p
=lim（p→0）psinacosa
=0
【因为sinacosa有界，而p是无穷小。】

Answer 4

令x=rsina,y=rcosa，r->0,代入得：rsin2a/2->0显然成立。