Question

如图三角形ABC内接于圆O，AB=AC，过点C作CD平行于AB交O于点D，过点D作DE垂直于点E，且CD=DE

求证AD²=2AE*AB
若三角形ABC面试是50，求三角形ACD的面积

Answer 1

第1题求证：
做虚线BD，因AB平行DC，所以AD=BC，BD=AC=AB。
因三角形BED为直角三角形，所以BD² = BE² + DE² 。
BD² = AB² = （AB-AE）² + DE² = AB² - 2AB*AE + AE² + DE² 。
所以 2AE*AB = AE² + DE²。
又因 三角形AED为直角三角形，所以 AD² = AE² + DE²。
所以 AD² = 2AE*AB 。
第2题求三角形ACD的面积：
因 （CD+AE）² + DE² = AC² ，
即 （CD+（AB-CD）/2）² + CD² = AB² ,
即 3AB² -2AB*CD -5CD² = 0，
即 （3AB - 5CD）*（AB + CD）=0,
CD 不等于负数 所以 CD = 3AB/5。
因 三角形ABC的高 = DE， 三角形ACD的高 = DE。
所以 面积ABC = AB* DE/2 = 50， 面积ACD = DC*DE/2 = 3AB/5*DE/2 = 3/5 * 面积ABC= 3/5 * 50 = 30。
所以 三角形ACD面积为 30。