Question

一道关于模和连续函数的证明题，求助！！！！！！急！！！！！～～～～～～～

Let N be a norm on R^n. Prove from the definition that the real-valued function N : R^n→R is continuous.

翻译：N是R^n上一个模。从定义证明实函数N: R^n→R是连续的。

Answer 1

norm一般翻译成范数
取e_i是第i个分量为1, 其余分量为0的向量
对于x=sum x_i*e_i, y=sum y_i*e_i

|N(x)-N(y)| <= N(x-y) <= sum |x_i-y_i|N(e_i) <= max N(e_i) * sum |x_i-y_i|
然后用定义就行了, 这里的连续其实还是一致连续的

追问

可是得出的是|N(x)-N(y)|<= max N(e_i) * sum |x_i-y_i|，不是|N(x)-N(y)|和|x_i-y_i|的关系，是和sum |x_i-y_i|的关系啊？还有，根据连续的ε－δ定义，这里的δ，ε是什么？

追答

给你的提示足够多了，差最后一步就做完了，连这点都不能自己补上吗