Question

四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA垂直于底面ABCD，P为BC的中点，AD=2,AB=1,SA=根2，求SP垂直于PD （2）求...

四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA垂直于底面ABCD，P为BC的中点，AD=2,AB=1,SA=根2，求SP垂直于PD （2）求二面脚S-PD-A的大小

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为SA⊥底面ABCD，所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD= 2 ，
又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以AP⊥PD．
因为 SA⊥底面ABCD，PD⊂平面ABCD，所以，SA⊥PD，
由于SA∩AP=A，所以PD⊥平面SAP．
（Ⅱ）设Q为AD的中点，连接PQ，由于SA⊥底面ABCD，且SA⊂平面SAD，
则平SAD⊥平面PAD．因为PQ⊥AD，所以PQ⊥平面SAD，过Q作QR⊥SD，垂足为R，连接PR，
由三垂线定理可知PR⊥SD，所以，∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．
容易证明△DRQ∽△DAS，则QR SA =DQ SD 因为DQ=1，SA=1，SD= 5 ，
所以QR=DQ SD •SA=1 5 ．（10分）在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，
所以tan∠PRQ=PQ QR = 5 所以二面角A-SD-P的大小的正切值为 5 ．