Question

计算不定积分答案是否唯一呀？

计算∫1/√x(4-x)dx，我用配方法算出是arcsin(x-2/2)+C,而答案是2arcsin(√x/2)+C。可是我又检查一下自己的方法没错呀，请各位帮帮忙。。。

Answer 1

1.不定积分的答案不是唯一的
2.所有答案的唯一一样的就是求导后一样 你可以对两个答案求导验证一下
3.至于为什么不唯一 关键就在于那个C 不一样的答案可以理解为(有常数被提出来给C吸收了 )
每个不一样的答案里的C必定不一样的 (当然就算答案一样 C也可能不一样)

因为求导后常数C变成0 所以不管是怎么样的C都是0 所以 你对两个答案同时求导,如果是一样,那么这两个答案都是这个不定积分的原函数.

我对这两个答案都求导了 得到的都是1/√x(4-x) 所以 你做对了,,

Answer 2

x=0时arcsin(x-2/2)=-π/2 2arcsin(√x/2)=0
仅需证明对任意x， arcsin(x-2/2)和2arcsin(√x/2)相差是一个常数（ -π/2）

设 t=arcsin(√x/2) ，则sint=√x/2 cost=√(1-x/4)

sin（2t-π/2）=-cos2t=1-2cos²t=1-2(1-x/4)=1-2+x/2=(x-2)/2
知0≤t≤ π/2 -π/2≤2t-π/2≤π/2
所以 arcsin(x-2/2)=2t-π/2=2arcsin(√x/2)-π/2
两个表达式均是对的，只是其中C是不同而已