Question

二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy

二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy其中D={（x,y）/x^2+y^2<=1,x>=0}
答案是(π/2)*ln2
求解答过程，谢谢

Answer 1

I = ∫∫ (1 + xy)/(1 + x² + y²) dxdy，D = { (x，y) | x² + y² ≤ 1，x ≥ 0 }

{ x = rcosθ，{ y = rsinθ

- π/2 ≤ θ ≤ π/2，注意这界限，∵x ≥ 0，所以θ只能在第三、第四象限变化

I = ∫(- π/2→π/2) dθ ∫(0→1) (1 + r²sinθcosθ)/(1 + r²) • rdr

= ∫(- π/2→π/2) dθ • ∫(0→1) [r/(1 + r²) + r³/(1 + r²) • sinθcosθ] dr

= ∫(- π/2→π/2) (1/2)ln(r² + 1) + sinθcosθ • [r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)] |(0→1) dθ

= ∫(- π/2→π/2) (1/2)ln(2) + [1/2 - (1/2)ln(2)] • sinθcosθ dθ

= (1/2)ln(2) • (π/2 + π/2) + [1/2 - (1/2)ln(2)] • 0

= (1/2)ln(2) • π

= (π/2)ln(2)

楼上的象限根本是错的

要是角度限制在[0，π]内，那是y ≥ 0而不是x ≥ 0，画个图就知道了

要x ≥ 0，x的值当然要在y轴右边了，即第三、第四象限才是的

对于y ≥ 0，y = √(1 - x²)，θ∈[0，π]

对于x ≥ 0，x = √(1 - y²)，θ∈[- π/2，π]

对于y ≤ 0，y = - √(1 - x²)，θ∈[3π/2，2π]

对于x ≤ 0，x = - √(1 - y²)，θ∈[π，3π/2]

[r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)]

这步只是求∫ r³/(1 + r²) dr，你会做的吧

追问

[r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)]这一步不懂，

Answer 2

你把本题分解，把分子化为1+xy，然后分开积分，有xy的那部分如果积分区间即关于x轴对称又关于y轴对称的话积分结果是0，因此，本题只是分子是一的积分，然后化成极坐标形式，分母是1+r的平方，分子r在r属于0到一，θ属于0到2π积分，这样的话就非常容易了，直接用二重积分法则，结果显而易见，希望帮到你。

Answer 3

设 x=rsint
y=rcost 0<=r<=1 0<=t<=π
I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy

=∫∫(1+rsint*rcost)/(1+r^2) *r drdt
=∫(0,1)∫(0,π) (1+r^2/2*sin2t)/(1+r^2) *r dt dr
=∫(0,1) [ rt/(1+r^2)+r^2/2(1+r^2)*1/2cos2t |(0,π) ] dr
=∫(0,1) πr/(1+r^2) dr
=π/2∫(0,1) d(1+r^2)/(1+r^2)
=π/2 ln(1+r^2)|(0,1)
=π/2*ln2

追问

问一下，那个t的范围怎么求得的？谢谢

追答

因为 x>=0，y值没有限制
所以t的范围就是1、2象限

1、2象限中，sint>=0，-1<=cost<=1