Question

函数奇偶性应用

一二小题我做出来了，就是第三小题的3个问都不知道怎么做，请各位帮忙！！
已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且对x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x）．又当x∈[0，1]时，f（x）=x．
（1）当x∈[-1，0]时，求f（x）的解析式； 答案：f（x）=-x
（2）求证：函数y=f（x）（x∈R）是以T=2为周期的周期函数；
（3）
①当x∈[2n-1，2n]（n∈Z）时，求f（x）的解析式．
②当x∈[2n-1，2n+1]（其中n是给定的正整数）时，若函数y=f（x）的图象与函数y=kx的图象有且仅有两个公共点，求实数k的取值范围．
③当x∈[0，2n]（n是给定的正整数且n≥3）时，求f（x）的解析式．
要过程~ 好的加分

Answer 1

（3）
①当x∈[2n-1，2n]（n∈Z）时，求f（x）的解析式．
n=0, f(x) = -x, so x∈[2n-1，2n]（n∈Z）时，f（x）= f(x-2n) = -(x-2n), (because x-2n∈[-1，0])

②当x∈[2n-1，2n+1]（其中n是给定的正整数）时，若函数y=f（x）的图象与函数y=kx的图象有且仅有两个公共点，求实数k的取值范围．
1个公共点在[2n-1,2n)，
-(x-2n)=kx, so (k+1)x = 2n>0, so x=2n/(k+1)∈[2n-1，2n), so k ∈(0，1/(2n-1)],

另一个公共点在(2n, 2n+1],
(x-2n)=kx, so (1-k)x = 2n>0, so x=2n/(1-k)∈(2n，2n+1], so k ∈(0，1/(2n+1)],

so k ∈(0，1/(2n+1)],

③当x∈[0，2n]（n是给定的正整数且n≥3）时，求f（x）的解析式．
x∈[0，1], f(x) = x,
x∈[1，2], f(x) = -(x-2),

so
x∈[2k，2k+1], f(x) = x-2k, 这里2k+1<2n, that is k<(2n-1)/2
x∈[2k+1，2k+2], f(x) = -(x-2k-2), 这里2k+2<=2n, that is k<n-1

追问

如何说明 x-2n∈[-1，0]

追答

因为x∈[2n-1，2n]（n∈Z）, 所以x-2n∈[2n-1-2n，2n-2n]=[-1, 0]

追问

第二小题之所以分两个区间讨论， 是不是说 因为[2n-1,2n+1]是两段直线组成的 然后y=kx与直线只能有1个交点 所以两个交点就是两段直线各又一点 而区间的分划点就是2n 对吗

追答

y=kx是直线， 两条直线相交只能有一个交点， 否则就重合了