Question

当x趋于0时，求(1/x)^tanx极限，用洛必达法则

Answer 1

(1/x)^tanx=e^(tanxln(1/x))=e^(-tanxlnx)，所以求tanxlnx的极限即可，
tanxlnx=lnx/cotx,
分子分母求导得（-(sinx)^2/x），
再求导得，-sin2x,
x趋于0,，-sin2x趋于0,
所以原式极限为e^0=1

Answer 2

如题原式可转化为e^tanx*ln(1/x)=e^tan*1/x,而tan又等于x-x^3/3(可参见泰勒公式） 从而得到1/(x-x^3/3)x,x趋于0,所以为e^0=1