1³+2³+3³+4³+……+99³+100³=?

a281016545
2013-02-02 · 超过17用户采纳过TA的回答
知道答主
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大致算了下答案为42967925.这种题要找规律,我们先算1³+100³,由于a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab),所以1³+100³=(1+100)(1²+100²-1×100),所以我们可以分为50组再把他们相加,(1³+100³)(2³+99)+。。。。+(50³+51³),也就是说a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab),里面的(a+b)都是为101,再看后半部分(a²+b²-ab),最后会是1²+2²+3²+。。。+100²—(1×100+2×99+3×98..。。+50×51),由于1²+2²+3²+。。+n²=n*(n + 1)*(2n + 1)/6,所以1²+2²+3²+。。。+100²=100(100+1)(200+1)/6,而2×99+3×98+4×97+。。。+50×51=(1+1)(100-1)+(1+2)(100-2)+(1+3)(100-3)+.。。+(1+49)(100-49),这里也可以找个规律,100+100-1-1+100+200-2-2²+100+300-3-3².从2到99有49组,也就是说着结果100×49+100+300+400+500+。。+4900-(1+2+3+..+49)-(1²+2²+3²+。。+49²)=100×49+100[(1+50)×50/2]-(1+49)×49/2-49*(49+ 1)*(98 + 1)/6,。所以1³+2³+3³+4³+……+99³+100³=101{100(100+1)(200+1)/6-100-[100×49+100[(1+50)×50/2]-(1+49)×49/2-49×(49+ 1)×(98 + 1)/6}
zzcbob
2013-02-02 · TA获得超过6216个赞
知道大有可为答主
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有个公式
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[(1+n)n/2]^2

代入100
[(100+1)*100/2]^2=5050^2=25 502 500

证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=[n(n+1)/2]^2

n^4-(n-1)^4
=[n^2-(n-1)^2][n^2+(n-1)^2]
=(2n-1)(2n^2-2n+1)
=4n^3-6n^2+4n-1
2^4-1^4=4*2^3-6*2^2+4*2-1
3^4-2^4=4*3^3-6*3^2+4*3-1
4^4-3^4=4*4^3-6*4^2+4*4-1
......
n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1
各等式全部相加
n^4-1^4=4*(2^3+3^3+...+n^3)-6*(2^2+3^2+...+n^2)+4(2+3+4+...+n)-(n-1)
n^4-1^4=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-6*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+4(1+2+3+4+...+n)-(n-1)-2
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-6*n(n+1)(2n+1)/6+4*n(n+1)/2-n-1
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n-1
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n-1
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)
=n^4-1+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n+1
=n^4-1+(n+1)(2n^2-n)+n+1
=n^4-1+(2n^3+n^2-n)+n+1
=n^4+2n^3+n^2
=(n^2+n)^2
=(n(n+1))^2

1^3+2^3+3^3+...+n^3
=[n(n+1)/2]^2
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