Question

1³+2³+3³+4³+……+99³+100³=？

Answer 1

大致算了下答案为42967925.这种题要找规律，我们先算1³+100³，由于a³+b³=（a+b）(a²+b²-ab)，所以1³+100³=（1+100）（1²+100²-1×100），所以我们可以分为50组再把他们相加，（1³+100³）（2³+99）+。。。。+（50³+51³），也就是说a³+b³=（a+b）(a²+b²-ab),里面的（a+b）都是为101，再看后半部分(a²+b²-ab),最后会是1²+2²+3²+。。。+100²—（1×100+2×99+3×98..。。+50×51）,由于1²+2²+3²+。。+n²=n*(n + 1)*(2n + 1)/6，所以1²+2²+3²+。。。+100²=100（100+1）（200+1）/6，而2×99+3×98+4×97+。。。+50×51=（1+1）（100-1）+（1+2）（100-2）+（1+3）（100-3）+.。。+（1+49）（100-49）,这里也可以找个规律，100+100-1-1+100+200-2-2²+100+300-3-3².从2到99有49组，也就是说着结果100×49+100+300+400+500+。。+4900-(1+2+3+..+49)-(1²+2²+3²+。。+49²)=100×49+100[（1+50）×50/2]-(1+49)×49/2-49*(49+ 1)*(98 + 1)/6,。所以1³+2³+3³+4³+……+99³+100³=101{100（100+1）（200+1）/6-100-[100×49+100[（1+50）×50/2]-(1+49)×49/2-49×(49+ 1)×(98 + 1)/6}

Answer 2

有个公式
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[(1+n)n/2]^2

代入100
[(100+1)*100/2]^2=5050^2=25 502 500

证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=[n(n+1)/2]^2

n^4-(n-1)^4
=[n^2-(n-1)^2][n^2+(n-1)^2]
=(2n-1)(2n^2-2n+1)
=4n^3-6n^2+4n-1
2^4-1^4=4*2^3-6*2^2+4*2-1
3^4-2^4=4*3^3-6*3^2+4*3-1
4^4-3^4=4*4^3-6*4^2+4*4-1
......
n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1
各等式全部相加
n^4-1^4=4*(2^3+3^3+...+n^3)-6*(2^2+3^2+...+n^2)+4(2+3+4+...+n)-(n-1)
n^4-1^4=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-6*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+4(1+2+3+4+...+n)-(n-1)-2
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-6*n(n+1)(2n+1)/6+4*n(n+1)/2-n-1
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n-1
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n-1
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)
=n^4-1+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n+1
=n^4-1+(n+1)(2n^2-n)+n+1
=n^4-1+(2n^3+n^2-n)+n+1
=n^4+2n^3+n^2
=(n^2+n)^2
=(n(n+1))^2

1^3+2^3+3^3+...+n^3
=[n(n+1)/2]^2