Question

高二数学题，求解

1.在三角形ABC中，若2sinB=sinA+sinC,且A-C=π/2，则a:b:c= ?
2.在三角形ABC中,∠A=60°，S△ABC=10√3，周长为20.求这个三角形的三边长，

Answer 1

第一问：（√7+1：√7：√7-1）是这个答案吧！
A-C=π/2,故sinA=sin(π/2+C)=cosC+sinC*0=cosC，cosA=-sinC（A为钝角，C为锐角）。
又B=π－（A+C），有sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=(cosC)^2-(sinC)^2=cos(2C)
因此，可以得出：2（cosC）^2-2(sinC)^2=sinA+sinC=cosC+sinC
又cosC+sinC不为0，故：cosC-sinC=1/2
根据(sinC)^2+(cosC)^2=1可得cosC*sinC=3/8即cosC+sinC=√7/2
所以sinC=(√7-1)/4;sinA=cosC=(√7+1)/4;sinB=√7/4
故：a:b:c=sinA:sinB:sinC=√7+1：√7：√7-1（这个题目出的确实有技术，我差点就放弃了）
第二问：设三角形三边为a,b,c
则a+b+c=20 S=(1/2)*b*c*sinA=10根号3 sinA=2根号3 b*c=40
cosA=(b²+c²-a²）/2bc=1/2 b²+c²-a²=40
由a+b+c=20 得 a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=400
将b²+c²-a²=40带入 得 40+2a²+2ab+2bc+2ac=400 2b*c=80
则 2a²+2ab+2ac=280 a+b+c=140/a=20 a=7 b+c=13
b*c=40 所以 b=8 c=5 或b=5 c=8

Answer 2

正弦定理 把R当成1 那样 2B=A+C 结合上面的A-C 两个公式相加 消去C 把A用B表示 再把C用B表示 接下来的不用说了吧