Question

已知关于x的不等式根号(2-x)+根号(x+1)<m对于任意x属于{-1,2}恒成立

已知关于x的不等式根号(2-x)+根号(x+1)<m对于任意x属于{-1,2}恒成立。（1）求m的取值范围。（2）在（1）的条件下求函数f（m）=m+{1/（m-2）^2}

Answer 1

√(2-x)+√(x+1)<m对于任意x属于{-1,2}恒成立
令y=√(2-x)+√(x+1)
只需ymax<m即可
∴y²=(2-x)+(x+1)+2√[(2-x)(x+1)]
=3+√[2+x-x²]
=3+√[9/4-(x-1/2)²]
当x=1/2时，y²取得最大值3+3/2=9/2
∴ymax=3√2/2
∴m的取值范围是m>3√2/2
(2)

f（m）=m+1/(m-2)²
=(m-2)+1/(m-2)²+2
=(m-2)/2+(m-2)/2+1/(m-2)²+2
≥3³√1/4+2=2+3/2*³√2
当(m-2)/2=1/(m-2)²
(m-2)³=2 ， m=2+³√2时取等号
【2+³√2>3√2/2】
即当m=2+³√2时，f(m)取得最小值2+3/2*³√2