Question

已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD对角线AC，BD交于点E

已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD对角线AC，BD交于点E，且BC=5／2，CD=√5／2,求sin∠AEB的值

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Answer 1

BC为半圆的的直径，则AB⊥AC，BD⊥CD

sin∠AEB=cos∠ABD

D是弧AC的中点，弧AD=弧CD，所以∠ABD=∠CBD=α（等弧所对的圆周角相等）

sinα=CD/BC=√5/5

cosα=√（1-sin^2 α）=2√5/5

sin∠AEB=cosα=2√5/5

追问

cosα=√（1-sin^2 α）=2√5/5

是什么意思？能解释下吗？

追答

(sinα)^2 + (cosα)^2 = 1
cosα=根号下（1减去sinα的平方）=2√5/5

如果不用(sinα)^2 + (cosα)^2 = 1

可以证明△BAE∽△BDC

∠AEB=∠BCD

RT△BDC中，BC=5／2，CD=√5／2，BD=√5（勾股定理）

sin∠AEB=sin∠BCD=BD/BC=2√5/5

Answer 2

• sin∠AEB=AB/BE=2√5／5,

• D是弧AC的中点,弧AD=弧DC,所以∠ABD=∠CBD=α     

• ∠BAE=∠BDC=90°

• sinα=CD/BC=√5／5,

• cosα=2√5／5

• sin∠AEB=cosα=2√5／5,

追问

• cosα=2√5／5

• 怎么来的?详细点可以吗？

追答

• 可以用勾股定理，

• 也可以用正弦   余弦关系公式

Answer 3

∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°，
∴BD=√(AB^2-DC^2)=√5，
由D为弧AC 中点知：弧AD=弧CD，∴∠ACD=∠DBC，
又∠ADC为公共角，∴ΔDBC∽ΔDCE，
∴DE/DC=DC/DE，DE=CD^2/DB=(√5/2)^2÷√5=1/2，
在RTΔCDE中，CE=√(DE^2+CD^2)=√6/2，
∴sin∠AEB=sin∠CED=CD/CE=√5/2÷√6/2=√30/6。

追问

公共角应该是∠BDC