Question

正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上高,E,F分别是AC和BC的中点,现将三角形ABC沿CD翻成

正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上高,E,F分别是AC和BC的中点,现将三角形ABC沿CD翻成
直二面角A-DC-B 1)求二面角E-DF-C用向量法

Answer 1

^2是平方，·是向量的点乘，×是向量的叉乘

对于翻折前：

由于CD⊥AB于D，则D是AB中点，所以AD=BD=AB/2=4/2=2

且CD=√(AC^2-AD^2)=√(4^2-2^2)=2√3

对于翻折后：

由于二面角A-DC-B是直二面角，所以AD⊥平面BCD，即AD⊥BD，AD⊥CD

又BD⊥CD，所以AD、BD、CD两两垂直于D

则可以D为原点，向量DB为x正半轴，向量DC为y正半轴，向量DA为z正半轴建右手系

由AD=BD=2，CD=2√3，所以A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2√3，0)

由于EF分别是AC、BC中点

所以E((0+0)/2，(0+2√3)/2，(2+0)/2)，F((2+0)/2，(0+2√3)/2，(0+0)/2)

即E(0，√3，1)，F(1，√3，0)，当然，D(0，0，0)

平面DEF中向量DE=(0，√3，1)，向量DF(1，√3，0)

由于向量DE×向量DF=(√3*0-1*√3，0*0-1*1，0*√3-√3*1)=(-√3，-1，-√3)

所以平面DEF的一个法向量为向量n=(-√3，-1，-√3)

而由于AD⊥平面BCD，所以平面CDF的一个法向量为向量DA=(0，0，2)

则向量n和向量DA的夹角θ为acrcos(向量n·向量AD)/(|n|*AD)

即θ=arccos((-√3*0-1*0-√3*2)/(√((-√3)^2+(-1)^2+(-√3)^2)*2))=arccos(-√21/7)

则平面DEF和平面CDF的所成角为arccos(-√21/7)或π-arccos(-√21/7)=arccos(√21/7)

即二面角E-DF-C=arccos(±√21/7)

联结AF，由于AD⊥平面CDF，所以二面角A-DF-C=π/2

而E在线段AC上，所以0<二面角E-DF-C<二面角A-DF-C=π/2

即二面角E-DF-C∈(0，π/2)，所以二面角E-DF-C的值应该舍去负号，取arccos(√21/7)

则二面角E-DF-C=arccos(√21/7)