Question

高二数学 导数的简单 几种形式推导

第七题，能详细 解答一下步骤，感激不敬！

Answer 1

导数定义：
ƒ'(x) = lim(Δx→0) [ƒ(x + Δx) - ƒ(x)]/Δx
则ƒ'(x₀) = lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx，其中Δx可以是负数，或者一个式子，总之要趋向0
对于①：
lim(Δx→0) [ƒ(x₀) - ƒ(x₀ - 2Δx)]/(2Δx)

= lim(Δx→0) - [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]/(2Δx)
= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]/(- 2Δx)，若令Δu = - 2Δx
= lim(Δu→0) [ƒ(x₀ + Δu) - ƒ(x₀)]/Δu
= ƒ'(x₀)
对于②：
lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀ - Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀) - ƒ(x₀ - Δx) + ƒ(x₀)]/Δx
= lim(Δx→0) {[ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)] - [ƒ(x₀ - Δx) - ƒ(x₀)]}/Δx
= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ - Δx) - ƒ(x₀)]/Δx
= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx + lim(- Δx→0) [ƒ(x₀ - Δx) - ƒ(x₀)]/(- Δx)
= ƒ'(x₀) + ƒ'(x₀)
= 2ƒ'(x₀)
对于③：
lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀ + Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀) - ƒ(x₀ + Δx) + ƒ(x₀)]/Δx
= lim(Δx→0) {[ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀)] - [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]}/Δx
= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀)]/Δx - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx
= 2lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀)]/(2Δx) - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx
= 2ƒ'(x₀) - ƒ'(x₀)
= ƒ'(x₀)
对于④：
lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀ - 2Δx)]/Δx

= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀) - ƒ(x₀ - 2Δx) + ƒ(x₀)]/Δx
= lim(Δx→0) {[ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)] - [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]}/Δx
= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]/(- 2Δx) • (- 2)
= ƒ'(x₀) + 2ƒ'(x₀)
= 3ƒ'(x₀)
只有①③正确。

Answer 2

导数其实是函数值增量与自变量增量比值的极限，因此1,3正确，选B
祝你学习进步！

追问

那 1和3 怎么才能推回原式，或者说 原式 如何退成 1、3的形式呢？

追答

分母是函数值的差，分母为此二函数表达式中自变量即f括号内部分相应作差，符合这形式的就是对应导数，否则不是。如第1个：分子ƒ(x₀) - ƒ(x₀ - 2Δx），分母就必须是x₀- (x₀ - 2Δx)=2Δx，因此第1个对，第3个也一样判断，多简单。这其实就是按定义进行判断的题目。

Answer 3

答案选1 3 即B 选项
推导过程仿照课本
祝学习进步
若有帮助请采纳
嘻嘻

追问

课本？课本 有吗？

追答

2 的错误在下面分母应乘以2
3 的错误在下面的分母应该乘以3

亲好好看一下吧

追问

那 1和3 怎么才能推回原式，或者说 原式 如何退成 1、3的形式呢？？