Question

初中几何求解

如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则BN/NC= .

Answer 1

令BC的中点为E、AP的中点为G，过E作EF∥CD交DP于F，作∠PEF的平分线交FP于H。
∵ABCD是正方形，∴DA＝DC＝BC＝AB＝a、∠DCE＝∠ADC＝∠ABN＝90°。
∴CE＝BC/2＝a/2。

∵DP＝DC、EP＝EC、DE＝DE，∴△DPE≌△DCE，∴∠PDE＝∠CDE、∠DPE＝∠DCE。
∵EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，又∠EDF＝∠CDE，∴∠DEF＝∠EDF，∴DF＝EF，
∴PF＝DP－DF＝DP－EF。

∵∠DPE＝∠DCE＝90°，∴由勾股定理，有：PF^2＋EP^2＝EF^2，
∴（DP－EF）^2＋EP^2＝EF^2，∴DP^2－2DP×EF＋EF^2＋EP^2＝EF^2，
∴a^2－2a×EF＋（a/2）^2＝0，∴EF＝（5/8）a，∴PF＝DP－EF＝a－（5/8）a＝（3/8）a。

∵∠FEH＝∠HEP，∴由三角形内角平分线定理，有：PH/FH＝EP/EF，
∴PH/（PH＋FH）＝EP/（EP＋EF），
∴PH＝PF×EP/（EP＋EF）＝（3/8）a×（1/2）a/［（1/2）a＋（5/8）a］＝（3/18）a。

∵EF∥CD，∴∠CDP＝∠EFP。
∵∠ADC＝∠EPF＝90°，∴∠ADP＋∠CDP＝∠PEF＋∠EFP＝90°，而∠CDP＝∠EFP，
∴∠ADP＝∠FEP。

∵DA＝DP、AG＝PG，∴∠ADG＝（1/2）∠ADP＝（1/2）∠FEP，又∠HEP＝（1/2）∠FEP，
∴∠ADG＝∠HEP。

∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠ANB。
∵DA＝DP、AG＝PG，∴∠DGA＝90°，∴∠DGA＝∠ABN＝90°，又∠DAG＝∠ANB，
∴△ADG∽△NAB，∴∠ADG＝∠NAB，而∠ADG＝∠HEP，∴∠NAB＝∠HEP。

∵∠NAB＝∠HEP、∠ABN＝∠EPH＝90°，∴△ABN∽△EPH，∴AB/EP＝BN/PH，
∴BN＝AB×PH/EP＝a×（3/18）a/［（1/2）a］＝（3/9）a。
∴CN＝BC－BN＝a－（3/9）a＝（6/9）a。
∴BN/CN＝［（3/9）a］/［（6/9）a］＝1/2。

Answer 2

取坐标系 A﹙0,0﹚ B﹙2,0﹚,D﹙0,2﹚
APC方程 x²+﹙y-2﹚²＝4
BPC方程 ﹙x-2﹚²+﹙y-1﹚²＝1 解得P﹙6/5,2/5﹚ AN方程 y＝﹙1/3﹚x
∴N﹙2，2/3﹚ BN/NC＝﹙2/3﹚/﹙2-2/3﹚＝1/2

Answer 3

结果是1:2。做坐标，以A为坐标原点，大圆方程为X^2 (Y-a)^2=a^2，小圆方程为(X-a)^2 (Y-0.5a)^2=0.25a^2。可解得X=0.6
a,Y=0.2a,可得BN:AB=1:3所以BN:NC=1:2

Answer 4

貌似做过，但好像是用建立坐标系的方法能做出来，就是简单的计算就行，两点的纵坐标之比。。。

Answer 5

2:3 呗

Answer 6

1:2。。。。。。。。。