Question

为什么奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数就能被11整除

Answer 1

设AnAn-1…A2A1为n位整数,不妨设n为奇数（偶数类似）,则Y＝11×AnAn-1An-2…A2A1＝AnAn-1An-2…A2A1＋AnAn-1An-2…A2A1————————————所以Y偶数位相加＝An+(An-2+An-1)+……+(A1+A2)而Y奇数位相加＝(An-1+An)+(An-3+An-2)+……+(A1+A2)也就是奇数位和偶数位的和相同（11的0倍）可以被11整除.以上是不考虑进位的,或者说就是比如An＋An-1>10也不进位.如果有进位,设有m个偶数位有进位,分别进了m1～mm到奇数位,其结果是偶数位的和减10×(m1+m2+…+mm-1+mm),奇数位的和加1××(m1+m2+…+mm-1+mm),这样就两个和相减就差了11的×(m1+m2+…+mm-1+mm)倍.也就是说,11的正倍数的奇数位的和与偶数位的和的差一定为11的倍数,反之,奇数位的和与偶数位的和的差为11的倍数的数也一定能被11整除