Question

定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x^3，

则f（2011）的值是

Answer 1

y=f（x）是奇函数，
则f(x)关于(0,0)对称，
又由f(1+x)=f(1-x)，得f(x)关于直线x=1对称，
从而f(x)是周期函数，且T=4(1-0)=4
所以　f(2011)=f(3)=f(-1)=-1

注：若f(x)关于点(a,0)对称，又关于直线x=b对称，
则f(x)是周期函数，周期为T=4|b-a|
证：f(x)关于点(a,0)对称，则f(a+x)=-f(a-x)，
其等价形式为
f(2a+x)=-f(-x) ①
f(x)关于直线x=b对称，则f(b+x)=f(b-x)，等价形式为
f(2b+x)=f(-x) ②
对比①②，得f(2b+x)=-f(2a+x)　③
在③中，用x-2a替换x，得
　f(2b-2a+x)=-f(x) ④
再用　2b-2a+x替换x,，得
f(4b-4a+x)=-f(2b-2a+x) ⑤
对比④⑤，得f(4b-4a +x)=f(x)
从而　T=4|b-a|

Answer 2

定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=f(x)，且f(1-x)=f(1+x).
当x属于[-1，1]时，f(x)=x³，则f(n)=？

解：由已知得所给函数既关于原点对称，又关于直线x=1，故

f(x+4)=f(1+(x+3))=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1+x+1)

=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x)
即f(x)以4为周期

f(-1)=-1，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0

f(2008)=0，f(2009)=1，f(2001)=0,f(2011)=-1