Question

lim <e^(-1/x)>/x

Answer 1

lim(x→0) e^(- 1/x)/x
当x从左边趋向0时
lim(x→0⁻) e^(- 1/x)/x
= lim(y→0) e^(- 1/(- y))/(- y)，x = - y
= lim(y→0) - e^(1/y)/y，e^(1/y) > y
= - ∞
当x从右边趋向0时
lim(x→0⁺) e^(- 1/x)/x
= lim(z→0) e^(- 1/z)/z，z > 0
= lim(z→0) 1/[ze^(1/z)]
= 0
即 lim(x→0) e^(- 1/x)/x 不存在，只有右极限存在

当x趋向无穷大时
lim(x→+ ∞) e^(- 1/x)/x = 1/[xe^(- 1/x)] = 0
lim(x→- ∞) e^(- 1/x)/x = lim(y→∞) - e^(1/y)/y ~ - e^(0)/∞ = 0
所以lim(x→∞) e^(- 1/x)/x = 0