Question

设(X, ρ)是度量空间

设(X, ρ)是度量空间，F1, F2是它的两个紧子集，求证：∃ xi ∈ Fi ( i = 1, 2)，使得ρ(F1, F2) = ρ(x1, x2)．其中ρ(F1, F2) = inf {ρ(x, y) | x∈F1, y∈F2 }

Answer 1

证明：由ρ(F1, F2)的定义，∀n∈⋰+，∃ xi(n) ∈ Fi ( i = 1, 2)，使得 ρ(x1(n), x2(n)) < ρ(F1, F2) + 1/n． 因F1, F2紧，故不妨假设{x1(n)}, {x2(n)}都是收敛列． 设它们的极限分别为x1, x2，则ρ(x1, x2) ≤ ρ(F1, F2)． 因此ρ(F1, F2) = ρ(x1, x2