Question

设(X, ρ)是度量空间

1.3.8 设(X, ρ)是度量空间，M是X中的列紧集，映射f : X → M满足 ρ ( f (x1), f (x2)) < ρ ( x1, x2 ) (∀x1, x2∈M, x1 ≠ x2)． 求证：f在X中存在唯一的不动点

Answer 1

证明：(1) 首先证明cl(M)是紧集．为此只要证明cl(M)列紧即可． 设{ xn }是cl(M)中的点列，则存在M中的点列{ yn }使得ρ ( xn, yn ) < 1/n． 因M列紧，故{ yn }有收敛子列{ yn(k)}，设yn(k) → u ∈cl(M)． 显然{ xn(k)}也是收敛的，并且也收敛于u ∈cl(M)． 所以cl(M)是自列紧的，因而是紧集． (2) 令g(x) = ρ ( x, f (x))，则g是X上的连续函数． 事实上，由ρ ( f (x1), f (x2)) < ρ ( x1, x2 )可知f : X → M是连续的，因而g也连续． 由习题1.3.2知存在x0∈cl(M)，使得g(x0) = inf {ρ ( x, f (x)) | x ∈cl(M) }． (3) 若g(x0) > 0，则ρ ( x0, f (x0)) > 0，即x0 ≠ f (x0)． 故ρ ( x0, f (x0)) = g(x0) ≤ g( f (x0)) = ρ ( f (x0), f ( f (x0))) < ρ ( x0, f (x0) )，矛盾． 所以，必有g(x0) = 0，即ρ ( x0, f (x0)) = 0，因此x0就是f的不动点．